Closed ss -semilocal modules and rings

<jats:p> A module <jats:italic>A</jats:italic> is designated as <jats:italic>closed</jats:italic> <jats:italic>ss</jats:italic> <jats:italic>-semilocal module</jats:italic> provided for any closed submodule <jats:italic>G</jats:italic> of <jats:italic>A</jats:italic> , there exists a submodule <jats:italic>H</jats:italic> of <jats:italic>A</jats:italic> such that <jats:italic>A</jats:italic> = <jats:italic>G</jats:italic> + <jats:italic>H</jats:italic> and <jats:italic>G</jats:italic> ∩ <jats:italic>H</jats:italic> ≤ <jats:italic>Soc</jats:italic> <jats:sub> <jats:italic>s</jats:italic> </jats:sub> ( <jats:italic>A</jats:italic> ) where <jats:italic>Soc</jats:italic> <jats:sub> <jats:italic>s</jats:italic> </jats:sub> ( <jats:italic>A</jats:italic> ) = <jats:italic>Rad</jats:italic> ( <jats:italic>A</jats:italic> ) ∩ <jats:italic>Soc</jats:italic> ( <jats:italic>A</jats:italic> ) and a ring <jats:italic>S</jats:italic> is named as <jats:italic>closed</jats:italic> <jats:italic>ss</jats:italic> <jats:italic>-semilocal ring</jats:italic> provided the left <jats:italic>S</jats:italic> -module <jats:sub> <jats:italic>S</jats:italic> </jats:sub> <jats:italic>S</jats:italic> is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module. Any direct summand of a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module is also closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal. A finite sum of closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal modules is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal, in case this sum is a local distributive module. Over a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal ring <jats:italic>S</jats:italic> , any nonsingular cyclic <jats:italic>S</jats:italic> -module is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module. A free <jats:italic>S</jats:italic> -module <jats:italic>A</jats:italic> is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module if and only if the endomorphism ring of <jats:italic>A</jats:italic> , <jats:italic>End</jats:italic> <jats:sub> <jats:italic>S</jats:italic> </jats:sub> ( <jats:italic>A</jats:italic> ) is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module. A ring <jats:italic>S</jats:italic> is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal ring if and only if for any positive integer <jats:italic>n</jats:italic> , the ring of all <jats:italic>n</jats:italic>  ×  <jats:italic>n</jats:italic> matrices over <jats:italic>S</jats:italic> , <jats:italic>M</jats:italic> <jats:sub> <jats:italic>n</jats:italic> </jats:sub> ( <jats:italic>S</jats:italic> ) is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal ring. For a refinable module <jats:italic>A</jats:italic> , if there is a closed submodule <jats:italic>E</jats:italic> of <jats:italic>A</jats:italic> such that <jats:italic>E</jats:italic> = <jats:italic>G</jats:italic> + <jats:italic>K</jats:italic> for some <jats:italic>K</jats:italic> ≤ <jats:italic>Soc</jats:italic> <jats:sub> <jats:italic>s</jats:italic> </jats:sub> ( <jats:italic>A</jats:italic> ) and for any <jats:italic>G</jats:italic> ≤ <jats:italic>A</jats:italic> , then <jats:italic>A</jats:italic> is a ⊕ <jats:sub> <jats:italic>ss</jats:italic> </jats:sub> -supplemented module if and only if <jats:italic>A</jats:italic> is an <jats:italic>ss</jats:italic> -supplemented module if and only if <jats:italic>A</jats:italic> is an <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module if and only if <jats:italic>A</jats:italic> is a closed <jats:italic>ss</jats:italic> -semilocal module. </jats:p>