Strong Resolving Graphs of U ‐Clean Graphs of Finite Commutative Rings

<jats:p> Let <jats:italic>R</jats:italic> be a finite commutative ring with identity 1. The <jats:italic>U</jats:italic> ‐clean graph <jats:italic>U</jats:italic> ‐ <jats:italic>C</jats:italic> <jats:italic>l</jats:italic> ( <jats:italic>R</jats:italic> ) of a ring <jats:italic>R</jats:italic> is a simple undirected graph with vertices are of the form ( <jats:italic>e</jats:italic> , <jats:italic>u</jats:italic> ), where <jats:italic>e</jats:italic> is a nonzero idempotent and <jats:italic>u</jats:italic> is a unit of <jats:italic>R</jats:italic> , and two distinct vertices ( <jats:italic>e</jats:italic> , <jats:italic>u</jats:italic> ), ( <jats:italic>f</jats:italic> , <jats:italic>v</jats:italic> ) of <jats:italic>U</jats:italic> ‐ <jats:italic>C</jats:italic> <jats:italic>l</jats:italic> ( <jats:italic>R</jats:italic> ) are adjacent if and only if <jats:italic>e</jats:italic> = <jats:italic>f</jats:italic> = 1 or <jats:italic>u</jats:italic> <jats:italic>v</jats:italic> = 1. In this paper, we present the strong resolving graph <jats:italic>U</jats:italic> ‐ <jats:italic>C</jats:italic> <jats:italic>l</jats:italic> ( <jats:italic>R</jats:italic> ) <jats:sub> <jats:italic>S</jats:italic> <jats:italic>R</jats:italic> </jats:sub> of <jats:italic>U</jats:italic> ‐ <jats:italic>C</jats:italic> <jats:italic>l</jats:italic> ( <jats:italic>R</jats:italic> ). The vertex degrees, the independence number, the clique number, and the chromatic number of <jats:italic>U</jats:italic> ‐ <jats:italic>C</jats:italic> <jats:italic>l</jats:italic> ( <jats:italic>R</jats:italic> ) <jats:sub> <jats:italic>S</jats:italic> <jats:italic>R</jats:italic> </jats:sub> are determined. Moreover, we show that if <jats:italic>k</jats:italic> is a divisor of ( <jats:italic>n</jats:italic> − 1) <jats:italic>n</jats:italic> , where <jats:italic>k</jats:italic> and <jats:italic>n</jats:italic> are positive integers with <jats:italic>k</jats:italic> > <jats:italic>n</jats:italic> ≥ 3, then <jats:italic>U</jats:italic> ‐ is not a complete graph. Finally, we give some examples of <jats:italic>U</jats:italic> ‐ and <jats:italic>U</jats:italic> ‐ to illustrate our results. </jats:p>