Rational Homology 3-Spheres and SL(2,ℂ) Representations

<p> We use instanton gauge theory to prove that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Y"> <mml:semantics> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a closed, orientable <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -manifold such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 1 left-parenthesis upper Y semicolon double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{1}(Y;\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is nontrivial and either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -torsion or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -torsion, and if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Y"> <mml:semantics> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is neither <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="number-sign Superscript r Baseline double-struck upper R double-struck upper P cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> # </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\#^{r} \mathbb {RP}^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> nor <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="plus-or-minus upper L left-parenthesis 3 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\pm L(3,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then there is an irreducible representation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pi 1 left-parenthesis upper Y right-parenthesis right-arrow upper S upper L left-parenthesis 2 comma double-struck upper C right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>SL</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\pi _{1}(Y) \to \operatorname {SL}(2,\mathbb {C})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We apply this to show that the Kauffman bracket skein module of a non-prime 3-manifold has nontrivial torsion whenever two of the prime summands are different from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R double-struck upper P cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow>