Sign-changing solution for a logarithmic Kirchhoff type problem

<jats:p> This paper is devoted to study the following logarithmic Kirchhoff problem <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mi>a</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>b</a:mi> <a:msub> <a:mo> ∫ </a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mn>3</a:mn> </a:msup> </a:mrow> </a:msub> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi mathvariant="normal"> ∇ </a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mn>2</a:mn> </a:msup> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>V</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mn>2</a:mn> </a:msup> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mi>d</a:mi> <a:mi>x</a:mi> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>V</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi>u</a:mi> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mo>=</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>u</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>p</a:mi> <a:mo> − </a:mo> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mi>log</a:mi> <a:mo> ⁡ </a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>u</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mo>,</a:mo> </a:math> where <y:math xmlns:y="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <y:mi>a</y:mi> <y:mo>,</y:mo> <y:mi>b</y:mi> <y:mo>></y:mo> <y:mn>0</y:mn> </y:math> , <z:math xmlns:z="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <z:mn>2</z:mn> <z:mo><</z:mo> <z:mi>p</z:mi> <z:mo><</z:mo> <z:mn>4</z:mn> </z:math> . Under some assumptions on the potential function <ab:math xmlns:ab="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <ab:mi>V</ab:mi> <ab:mo stretchy="false">(</ab:mo> <ab:mi>x</ab:mi> <ab:mo stretchy="false">)</ab:mo> </ab:math> , we prove the existence of a sign-changing solution to this problem for <db:math xmlns:db="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <db:mi>b</db:mi> <db:mo>></db:mo> <db:mn>0</db:mn> </db:math> small enough by using the truncated technique and constraint variational method. </jats:p>