Existence and multiplicity for degenerate fractional Kirchhoff problems with nonsmooth potential

<jats:p> This paper investigates a class of nonlocal variable-order fractional $p(\cdot)$-Kirchhoff type equations with nonsmooth nonlinearities <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="script">M</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:msub> <a:mo> ∫ </a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>2</a:mn> <a:mi>N</a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:msub> <a:mfrac> <a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo> − </a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>p</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> <a:mrow> <a:mi>p</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>x</a:mi> <a:mo> − </a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>N</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>s</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi>p</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:mfrac> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="normal">d</a:mi> </a:mrow> <a:mi>x</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="normal">d</a:mi> </a:mrow> <a:mi>y</a:mi> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:msubsup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>p</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> ⋅ </a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>s</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> ⋅ </a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mrow> </a:msubsup> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo> ∈ </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> ∂ </a:mi> <a:mi>F</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mtd> <a:mtd> <a:mtext>in </a:mtext> <a:mi mathvariant="normal"> Ω </a:mi> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mn>0</a:mn> <a:mo>,</a:mo> <a:mtext>on </a:mtext> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mi>N</a:mi> </a:msup> <a:mo class="MJX-variant"> ∖ </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Ω </a:mi> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd>