On nonlinear perturbations of a periodic integrodifferential Stein–Weiss equation with critical exponential growth

<jats:p> In this paper, we study the existence of solutions for integrodifferential Stein–Weiss equations of the form <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mo> − </a:mo> <a:msub> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>K</a:mi> </a:mrow> </a:msub> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>V</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <a:mfrac> <a:mn>1</a:mn> <a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>x</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi> β </a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:mfrac> </a:mstyle> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <a:msub> <a:mo> ∫ </a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> </a:mrow> </a:msub> <a:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <a:mfrac> <a:mrow> <a:mi>F</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>y</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mrow> <a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>y</a:mi> <a:mo> − </a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi> μ </a:mi> </a:mrow> </a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>y</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi> β </a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:mfrac> </a:mstyle> <a:mspace width="thinmathspace"/> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="normal">d</a:mi> </a:mrow> <a:mi>y</a:mi> </a:mstyle> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mi>f</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> <a:mspace width="1em"/> <a:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <a:mtext>in</a:mtext> </a:mstyle> <a:mtext> </a:mtext> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mo>,</a:mo> </a:math> where <wb:math xmlns:wb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <wb:mi> μ </wb:mi> <wb:mo>></wb:mo> <wb:mn>0</wb:mn> <wb:mo>,</wb:mo> <wb:mi> β </wb:mi> <wb:mo> ≥ </wb:mo> <wb:mn>0</wb:mn> </wb:math> such that <xb:math xmlns:xb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <xb:mn>0</xb:mn> <xb:mo><</xb:mo> <xb:mi> μ </xb:mi> <xb:mo>+</xb:mo> <xb:mn>2</xb:mn> <xb:mi> β </xb:mi> <xb:mo><</xb:mo> <xb:mn>1</xb:mn> </xb:math> , <yb:math xmlns:yb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <yb:mo> − </yb:mo> <yb:msub> <yb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <yb:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</yb:mi> </yb:mrow> <yb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <yb:mi>K</yb:mi> </yb:mrow> </yb:msub> </yb:math> is a nonlocal operator with a measurable kernel which satisfies "structural properties", more general than the standard kernel of the fractional Laplacian operator, <dc:math xmlns:dc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <dc:mi>V</dc:mi> </dc:math> is a bounded potential which can change sign, the nonlinear term <ec:math xmlns:ec="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <ec:mi>f</ec:mi> <ec:mo stretchy="false">(</ec:mo> <ec:mi>x</ec:mi> <ec:mo>,</ec:mo> <ec:mi>u</ec:mi> <ec:mo stretchy="false">)</ec:mo> </ec:math> has the critical exponential growth with respect to the Trudinger–Moser inequality and <hc:math xmlns:hc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <hc:mi>F</hc:mi> <hc:mo stretchy="false">(</hc:mo> <hc:mi>x</hc:mi> <hc:mo>,</hc:mo> <hc:mi>t</hc:mi> <hc:mo stretchy="false">)</hc:mo> <hc:mo>=</hc:mo> <hc:msubsup> <hc:mo> ∫ </hc:mo> <hc:mn>0</hc:mn> <hc:mi>t</hc:mi> </hc:msubsup> <hc:mi>f</hc:mi> <hc:mo stretchy="false">(</hc:mo> <hc:mi>x</hc:mi