Computing the Cuspidal Subgroup of the Modular Jacobian $J_{H}\left( p \right)$

<jats:p>For a fixed prime <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> congruent to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> modulo <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>4</mml:mn></mml:math> we define the modular curve <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> associated to the subgroup of non-zero squares modulo <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>. In this paper we compute the cuspidal group for all such curves of genus <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and compare this with the torsion group of the Jacobian <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ℚ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msqrt><mml:mi>p</mml:mi></mml:msqrt><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">tors</mml:mi> </mml:msub></mml:mrow></mml:math>.</jats:p>