Multiple solutions for a class of Schrödinger–Bopp–Podolsky system with sublinear nonlinearity

<jats:p> In this paper, we investigate the existence and concentration of solutions for the following Schrödinger–Bopp–Podolsky system with sublinear nonlinearity: <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi> λ </a:mi> <a:mi>V</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>G</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mi> ϕ </a:mi> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mi>f</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> </a:mtd> <a:mtd> <a:mtext>in</a:mtext> <a:mtext> </a:mtext> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>3</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:mi> ϕ </a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:msup> <a:mi>a</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:msup> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mi> ϕ </a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mn>4</a:mn> <a:mi> π </a:mi> <a:mi>G</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> </a:mtd> <a:mtd> <a:mtext>in</a:mtext> <a:mtext> </a:mtext> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>3</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> <a:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </a:mrow> </a:math> where <db:math xmlns:db="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <db:mi>V</db:mi> <db:mo> ∈ </db:mo> <db:mi>C</db:mi> <db:mo stretchy="false">(</db:mo> <db:msup> <db:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <db:mi mathvariant="double-struck">R</db:mi> </db:mrow> <db:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <db:mn>3</db:mn> </db:mrow> </db:msup> <db:mo stretchy="false">)</db:mo> </db:math> is a potential well, <jb:math xmlns:jb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <jb:mi>G</jb:mi> <jb:mo> ∈ </jb:mo> <jb:msup> <jb:mi>L</jb:mi> <jb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <jb:mn>2</jb:mn> </jb:mrow> </jb:msup> <jb:mo stretchy="false">(</jb:mo> <jb:msup> <jb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <jb:mi mathvariant="double-struck">R</jb:mi> </jb:mrow> <jb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <jb:mn>3</jb:mn> </jb:mrow> </jb:msup> <jb:mo stretchy="false">)</jb:mo> </jb:math> is nonnegative and <qb:math xmlns:qb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <qb:mi>f</qb:mi> <qb:mo> ∈ </qb:mo> <qb:mi>C</qb:mi> <qb:mo stretchy="false">(</qb:mo> <qb:msup> <qb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <qb:mi mathvariant="double-struck">R</qb:mi> </qb:mrow> <qb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <qb:mn>3</qb:mn> </qb:mrow> </qb:msup> <qb:mo> × </qb:mo> <qb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <qb:mi mathvariant="double-struck">R</qb:mi> </qb:mrow> <qb:mo stretchy="false">)</qb:mo> </qb:math> satisfies the sublinear conditions in <yb:math xmlns:yb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <yb:msup> <yb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <yb:mi mathvariant="double-struck">R</yb:mi> </yb:mrow> <yb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <yb:mn>3</yb:mn> </yb:mrow> </yb:msup> </yb:math> . By imposing some suitable assumptions on <cc:math xmlns:cc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <cc:mi>V</cc:mi> <cc:mo stretchy="false">(</cc:mo> <cc:mi>x</cc:mi> <cc:mo stretchy="false">)</cc:mo> </cc:math> , <fc:math xmlns:fc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <fc:mi>G</fc:mi> <fc:mo stretchy="false">(</fc:mo> <fc:mi>x</fc:mi> <fc:mo stretchy="false">)</fc:mo> </fc:math> and <ic