Corps de nombres cubiques cycliques ayant une capitulation harmonieusement équilibrée

<jats:p>It is proved that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>689</mml:mn><mml:mspace width="0.166667em"/><mml:mn>347</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>31</mml:mn><mml:mo>·</mml:mo><mml:mn>37</mml:mn><mml:mo>·</mml:mo><mml:mn>601</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is the smallest conductor of a cyclic cubic number field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>K</mml:mi></mml:math> whose maximal unramified pro-<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>3</mml:mn></mml:math>-extension <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="normal">F</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> possesses an automorphism group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Gal</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>6561</mml:mn></mml:math> with coinciding relation and generator rank <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and harmonically balanced transfer kernels <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ϰ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:msub></mml:mrow></mml:math>. The result depends on computations done under the assumption of the GRH.</jats:p>