Laplaciens de graphes infinis I Graphes métriquement complets

We introduce the weighted graph Laplacian Δω,c and the notion of Schrodinger operator of the form Δ1,a + W on a locally finite graph G. Concerning essential self-adjointness, we extend Wojciechowski's and Dodziuk's results for graphs with vertex constant weight. The main result in this work states that on any metrically complete weighted graph with bounded degree, the Laplacian Δω,c is essentially self-adjoint and the same holds for Schrodinger operators provided the associated quadratic form is bounded from below. We construct for the proof a strictly positive and harmonic function which allows us to write any Schrodinger operator Δ1,a + W as a Laplacian Δω,c modulo a unitary transform. On introduit le Laplacien Δω,c d'un graphe G localement fini pondere a la fois sur les sommets et sur les aretes, ainsi que la notion d'operateur de Schrodinger Δ1,a + W. Pour les graphes a poids constants sur les sommets, on etend un resultat de Wojciechowski pour le Laplacien et un resultat de Dodziuk pour les operateurs de Schrodinger concernant le caractere essentiellement auto-adjoint. Le resultat principal de ce travail etablit que pour les graphes ponderes a valence bornee et metriquement complets, le Laplacien Δω,c est essentiellement auto-adjoint, et il en va de meme pour l'operateur Δ1,a + W pourvu que la forme quadratique associee soit minoree. La preuve fait appel a la construction d'une fonction harmonique strictement positive qui permet d'ecrire l'operateur de Schrodinger Δ1,a + W comme un Laplacien a poids Δω,c a transformation unitaire pres.