Modules de Hodge Polarisables

Dans [7], Deligne a introduit la notion de complexe pur, et démontré la stabilité par image directe par morphismes propres (i.e. la version relative de la conjecture de Weil). Cette théorie, combinée avec celle de faisceaux pervers, a été ensuite développée par Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber[l]: ils ont démontré le théorème de décomposition, et la stabilité des faisceaux pervers purs par images directes intermédiaires (en particulier, la pureté des complexes d'intersection) [loc. cit]. D'après la philosophie de Deligne [6, 7], on a conjecturé qu'il existerait des objets en car. 0, correspondant aux complexes purs, cf. [2,3,4] etc. Le but de cet article est de donner une réponse positive: en utilisant la théorie de £)-Modules filtrés, la théorie de la filtration V [17, 22] et la théorie de faisceaux pervers, on définit la notion de Module de Hodge polarisable (cf. 5.1-2), qui doit correspondre à celle de faisceau pervers pur, et on démontre la stabilité par images directes (perverses) par un morphisme projectif avec un théorème de Lefschetz fort relatif et une polarisation induite sur les parties primitives (i.e. une théorie de Hodge-Lefschetz relative), cf. 5.3.1. Soient X une variété analytique complexe lisse, 3)x le faisceau des opérateurs différentiels analytiques muni de la filtration F par degré d'opérateur, et MF(â)x} la catégorie des .^-Modules filtrés. On dit que (M, F)^MF(3)X} est holonome, si M est un .â^-Module holonome [16, 18] et GrM est un Gr£Dx-ModulQ cohérent (i.e. F est une bonne filtration de M[loc. cit]). Soit MFh(3)x} la sous-catégorie pleine de MF(3)X) des .â^-Modules filtrés holonomes. D'après Kashiwara [16] on a le foncteur