On prime powers in linear recurrence sequences

Nous considérons dans cet article l’équation $$U_n=p^x$$ U n = p x , où $$U_n$$ U n est une suite récurrente linéaire, p un nombre premier, et x un entier positif. Sous des hypothèses techniques, nous montrons que, pour tout p en dehors d’un ensemble fini calculable de nombres premiers, cette équation admet au plus une solution ( n ,  x ). Nous déterminons cet ensemble exceptionnel pour la suite de Tribonacci et pour la suite de Lucas plus un. In this paper we consider the Diophantine equation $$U_n=p^x$$ U n = p x where $$U_n$$ U n is a linear recurrence sequence, p is a prime number, and x is a positive integer. Under some technical hypotheses on $$U_n$$ U n , we show that, for any p outside of an effectively computable finite set of prime numbers, there exists at most one solution ( n ,  x ) to that Diophantine equation. We compute this exceptional set for the Tribonacci sequence and for the Lucas sequence plus one.